pengisian tempat

jika suatu kejadian terjadi dengan m cara berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dengan n cara berbeda, dan kejadian ketiga dapat terjadi dengan p cara berbeda, dan seterusnya, maka kejadian seluruhnya adalah m x n x p x .... cara berbeda. untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia, dapat dipergunakan;

1. aturan perkalian

2. diagram pohon

3. tabel silang

4. pasangan berurutan

contoh soal;

1. Rina mempunyai 5 kaos dan 4 celana. Ada berapa cara berbeda untuk Rina memakai pakaiannya?

jawab;

untuk memakai kaos Rina mempunyai 5 cara, dan untuk memakai celana Rina mempunyai 4 cara, sehingga Rina mempunyai 5 x 4 (20) cara berbeda untuk memakai pakaiannya.

2. ada berapa bilangan yang terdiri 3 angka yang dapat dibentuk dari angka 5,6,7,8 dan 9 dengan syarat bahwa setiap bilangan tidak boleh ada angka yang sama?

jawab;

pada tempat ratusan ada 5 cara, pada tempat puluhan ada 4 cara (karena tidak boleh ada angka yang sama sehingga kita mengambil salah satu angka dari kelima angka tersebut), pada tempat puluhan ada 3 cara. jadi banyaknya bilangan adalah 5 x 4 x 3 = 60 bilangan.

3. Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk?

Jawab: Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut ini:

�� Dengan tabel silang

Dari tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u),

�� Dengan Pasangan Terurut

Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna. 

Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.

a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?

b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?

c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk?

d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk?

Jawab:

a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x 6 x 5 x 4 = 720 angka.

b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 = 400 angka.

c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka.

d. Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, 2 atau 4. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 0, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 2, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 4, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Misal terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 2, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk adalah = (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) = 240 angka.

  Pengertian dan Notasi Faktorial

n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n.

Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”) n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1).

n Contoh 5 Tentukanlah nilai dari 0! Jawab: Dari definisi faktorial : n ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . n . . . 1), (n – 1) ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . . . 2).

Jika persamaan 2) kita substitusikan ke persamaan 1), maka akan diperoleh: n ! = (n – 1) ! . n atau n = (n 1)! n! �� .

Jika n = 1 maka akan diperoleh kesamaan: 1 = (1 1)! 1! �� atau 1 = 0! 1! , Jadi, 0! = 1! = 1